Théorème de Gauss

Théorème de Gauss

Soit $a\in \mathbb{Z}$ , $b\in \mathbb{Z}$ et $c\in \mathbb{Z}$ non nuls.

Si $a$ divise $bc$ et si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $a$ divise $c$ .

Démonstration

Comme $a$ divise $bc$ , il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $bc=ka$ .

Comme $a$ et $b$ sont premiers entre eux, d'après le théorème de Bézout, il existe $(u;v)\in {\mathbb{Z}}^2$ tel que $au+bv=1$ . En multipliant cette égalité par $c$ , on obtient :  $\begin{array}{rl}acu+bcv=c& ⟺acu+kav=c⟺a(cu+kv)=c\end{array}$  avec $cu+kv\in \mathbb{Z}$ , donc $a$ divise $c$ .